Question

18．已知函數f（x）=?lnx?，關于x的不等式f（x）-f（1）≥c（x-1）的解集為（0，+∞），則實數c的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 不等式左邊可化為f（x），由此問題可轉化為當函數y=f（x）的圖象在直線y=c（x-1）的上方時，x的范圍是（0，+∞），由圖象易得．

解答 解：∵f（1）=0，
∴不等式為：f（x）≥c（x-1），在同一個坐標系中作出函數y=f（x）和y=c（x-1）的圖象，如圖：
由題意可知，當x＞0時，函數f（x）=|lnx|的圖象在直線y=c（x-1）的上方（可以有一交點），
顯然，當c＞0時，不符合題意，
當c≤0時，當x≥1時，恒有f（x）≥c（x-1），
當0＜x＜1時，f（x）=-lnx，
過點（1，0）作函數y=-lnx的切線，設切點為P（x₀，-lnx₀），
∵$y′=-\frac{1}{x}$，
∴切線斜率為-$-\frac{1}{{x}_{0}}$，
故切線方程為：$y+ln{x}_{0}=-\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
把點（1，0）代入方程得：x₀=1，
此時切線斜率為$-\frac{1}{{x}_{0}}=-1$，
由圖象可知，當c≥-1時，有-lnx≥c（x-1）對任意的0＜x＜1恒成立，
綜上可得：-1≤c≤0．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查對數函數的圖象和函數圖象的變換以及數形結合的思想方法，利用導數的幾何意義找到c的臨界值是解題關鍵，屬于中檔題．