Question

2．f（x）=alnx+x²-b（x-1）-1，若對$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，f（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $a≤{e}+\frac{1}{e}-2$
• B． a＜2
• C． $\frac{2}{e}≤a＜2$
• D． $a≤\frac{2}{e}$

Answer 1

分析 由f（1）=0，f（x）≥f（1），對$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，恒成立，即x=1是一個極小值點，可得f′（1）=a+2-b=0，b=a+2
求出f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$，按以下三種情況討論即可，①$\frac{1}{e}＜\frac{a}{2}≤1$  ②$\frac{a}{2}≤\frac{1}{e}$，③$\frac{a}{2}＞1$，

解答 解：∵f（1）=0，1∈[$\frac{1}{e}$，+∞），對$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，f（x）≥0恒成立．
∴f（x）≥f（1），對$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，恒成立，即x=1是一個極小值點，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b，x∈$[\frac{1}{e}，+∞）$．可得f′（1）=a+2-b=0，∴b=a+2，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$，
①當$\frac{1}{e}＜\frac{a}{2}≤1$時，f（x）在（$\frac{1}{e}，\frac{a}{2}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{a}{2}，1$）遞減，
則只需$f（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}+\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{2}{e}+1≥0$，解得$\frac{2}{e}＜a≤e+\frac{1}{e}-2$；
②當$\frac{a}{2}≤\frac{1}{e}$時，f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，f（x）≥f（1）即可，
而f（1）=0，∴$a≤\frac{2}{e}$符合題意．
③當$\frac{a}{2}＞1$時，f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）（$\frac{a}{2}$，+∞）遞增，在（1，$\frac{a}{2}$）遞減，f（$\frac{a}{2}$）＜f（1）=0，不符合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e+$\frac{1}{e}$-2]，
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方思想、等價轉(zhuǎn)化思想、考查了推理能力與計算能力，解題關鍵是求出a、b的數(shù)量關系．屬于難題．