Question

7．在△ABC中，$AB=2，AC=4，∠BAC=\frac{2π}{3}$，AD為BC邊上的中線，則AD=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出BC，通過正弦定理求出B的正弦函數與余弦函數值，然后利用余弦定理求解AD即可．

解答 解：在△ABC中，$AB=2，AC=4，∠BAC=\frac{2π}{3}$，
可得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{4+16+2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{7}$．BD=$\sqrt{7}$．
由正弦定理可得sinB=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，cosB=$\sqrt{1-\frac{3}{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
在△ADB中AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BDcosB}$=$\sqrt{4+7-2×2×\sqrt{7}×\frac{2}{7}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的應用，考查計算能力．