Question

8．設a₁、a₂∈R，且$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin（2{α}_{2}）}$=2，則|10π-α₁-α₂|的最小值等于$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，要使$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin2{α}_{2}}$=2，可得sinα₁=-1，sin2α₂=-1．求出α₁和α₂，即可求出|10π-α₁-α₂|的最小值

解答 解：根據三角函數的性質，可知sinα₁，sin2α₂的范圍在[-1，1]，
要使$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin2{α}_{2}}$=2，
∴sinα₁=-1，sin2α₂=-1．
則：${α}_{1}=-\frac{π}{2}+2k_{1}π$，k₁∈Z．
$2{α}_{2}=-\frac{π}{2}+2k_{2}π$，即${α}_{2}=-\frac{π}{4}+k_{2}π$，k₂∈Z．
那么：α₁+α₂=（2k₁+k₂）π$-\frac{3π}{4}$，k₁、k₂∈Z．
∴|10π-α₁-α₂|=|10π$+\frac{3π}{4}$-（2k₁+k₂）π|的最小值為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考察三角函數性質，有界限的范圍的靈活應用，屬于基本知識的考查．