Question

19．已知直線l：y=kx-k與拋物線C：y²=4x及其準線分別交于M，N兩點，F為拋物線的焦點，若$2\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}$，則實數k等于（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． ±1
• C． $±\sqrt{3}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由題意可知直線l過拋物線的焦點，由∠N′NM與直線l傾斜角相等，根據拋物線的定義即可求得tan∠N′NM，即可求得k的值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點F（1，0），直線l：y=kx-k過拋物線的焦點，
過N做NN′⊥準線x=-1，垂足為N′，
由拋物線的定義，丨NN′丨=丨NF丨，
由∠N′NM與直線l傾斜角相等，由$2\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}$，
則cos∠N′NM=$\frac{丨NN′丨}{丨MN丨}$=$\frac{1}{2}$，則tan∠N′NM=±$\sqrt{3}$，
∴直線l的斜率k=±$\sqrt{3}$，
故選：C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，拋物線的定義，考查數形結合思想，屬于中檔題．