Question

14．如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構成，曲線AB和曲線DE分別是頂點在路面A、E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們在接點B、D處的切線相同，若橋的最高點C到水平面的距離H=6米，圓弧的弓高h=1米，圓弧所對的弦長BD=10米．

（1）求弧$\widehat{BCD}$所在圓的半徑；
（2）求橋底AE的長．

Answer 1

分析 （1）由r²=5²+（r-1）²，即可求得r，即可求得弧$\widehat{BCD}$所在圓的半徑；
（2）建立直角坐標系，由題意設$\widehat{BCD}$所在圓的方程，列方程組，即可求得圓的方程，曲線AB所在拋物線的方程為：y=a（x-m）²，求導，根據導數的幾何意義，即可求得m的值，求得A和E點坐標，即可求得橋底AE的長為58米．

解答 解：（1）設弧$\widehat{BCD}$所在圓的半徑為r（r＞0），由題意得r²=5²+（r-1）²，則r=13，
即弧$\widehat{BCD}$所在圓的半徑為13米．                          …（4分）
（2）以線段AE所在直線為x軸，線段AE的中垂線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，
∴B（-5，5），D（5，5），C（0，6），設$\widehat{BCD}$所在圓的方程為x²+（y-b）²=r²，（r＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{（6-b）^2}={r^2}\\{5^2}+{（5-b）^2}={r^2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{r=13}\end{array}\right.$，
∴弧$\widehat{BCD}$的方程為x²+（y+7）²=169（5≤y≤6）…6分
設曲線AB所在拋物線的方程為：y=a（x-m）²，…（8分）
由點B（-5，5），在曲線AB上  
∴5=a（5+m）²，?…（10分）
又弧$\widehat{BCD}$與曲線段AB在接點B處的切線相同，且弧$\widehat{BCD}$在點B處的切線的斜率為$\frac{5}{12}$，
由y=a（x-m）²，y′=2a（x-m），2a（-5-m）=$\frac{5}{12}$，
2a（5+m）=-$\frac{5}{12}$，…（12分）
由??得m=-29，A（-29，0），E（29，0）
∴橋底AE的長為58米；   …（13分）
答：（1）弧$\widehat{BCD}$所在圓的半徑為13米；
（2）橋底AE的長58米．  （答和單位各1分） …（14分）

點評 本題考查圓方程的求法，拋物線的性質，導數的幾何意義，考查計算能力，屬于中檔題．