Question

5．已知在體積為12π的圓柱中，AB，CD分別是上、下底面兩條不平行的直徑，則三棱錐A-BCD的體積最大值等于8．

Answer 1

分析 設上、下底面圓的圓心分別為O₁，O，圓的半徑為r，推導出V_A-BCD=V_C-BCD+V_D-OAB，由C到平面圖OAB的距離與D到平面OAB的距離相等，得到V_A-BCD=2V_C-OAB，由此能求出三棱錐A-BCD的體積最大值．

解答 解：設上、下底面圓的圓心分別為O₁，O，圓的半徑為r，
由已知${V}_{圓柱}=π{r}^{2}$•OO₁=12π，
∴r²•OO₁=12，
∴V_A-BCD=V_C-BCD+V_D-OAB，
∵O是CD的中點，∴C到平面圖OAB的距離與D到平面OAB的距離相等，
∴V_C-OAB=V_D-OAB，∴V_A-BCD=2V_C-OAB，
設三棱錐C-OAB的高為h，則h≤r，
∴V_A-BCD=2V_D-OAB，
設三棱錐C-OAB的高為h，則h≤r，
∴${V}_{A-BCD}=2{V}_{D-OAB}=\frac{2}{3}{S}_{△OAB}•h$
=$\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•AB•O{O}_{1}•h$=$\frac{2}{3}r•O{O}_{1}•h$≤$\frac{2}{3}{r}^{2}•O{O}_{1}$=$\frac{2}{3}×12=8$，
∴三棱錐A-BCD的體積最大值為8．
故答案為：8．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想是，是中檔題．