Question

15．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數，α為直線的傾斜角）．以平面直角坐標系xOy極點，x的正半軸為極軸，取相同的長度單位，建立極坐標系．圓的極坐標方程為ρ=2cosθ，設直線與圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程與α的取值范圍；
（Ⅱ）若點P的坐標為（-1，0），求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的極坐標方程，能求出圓C的直角坐標方程，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入x²+y²-2x=0，得t²-4tcosα+3=0，由此利用根的判別式能求出α的取值范圍．
（Ⅱ）設方程t²-4tcosα+3=0的兩個實數根分別為t₁，t₂，則由參數t的幾何意義可知：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{|{4cosα}|}}{3}$，由此能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵圓的極坐標方程為ρ=2cosθ，
∴圓C的直角坐標方程x²+y²-2x=0，
把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入x²+y²-2x=0，得t²-4tcosα+3=0，
又直線l與圓C交于A，B兩點，∴△=16cos²α-12＞0，
解得：$cosα＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$cosα＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（4分）
又由α∈[0，π），故α的取值范圍$α∈[{0，\frac{π}{6}}）∪（{\frac{5π}{6}，π}）$．   
（Ⅱ）設方程t²-4tcosα+3=0的兩個實數根分別為t₁，t₂，
則由參數t的幾何意義可知：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{|{4cosα}|}}{3}$，
又由$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜|cosα|≤1$，∴$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜\frac{{|{4cosα}|}}{3}≤\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的取值范圍為$（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{4}{3}}]$．

點評 本題考查圓的直角坐標方程及角的取值范圍的求法，考查兩線段倒數和的取值范圍的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．