Question

3．在非直角△ABC中，D為BC上的中點，且$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{{S}_{△CAB}}$=4$\frac{{S}_{△ABD}}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}$，E為邊AC上一點，2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，BE=2，則△ABC的面積的最大值為$\frac{8}{3}$．（其中S_△ABC表示△ABC的面積）

Answer 1

分析 由已知⇒cotC=tan∠BAD⇒C+∠BAD=$\frac{π}{2}$⇒sin∠BAD=cosC，又因為∠BAD+C+∠CAD+B=π，故$∠CAD+B=\frac{π}{2}$⇒sin∠CAD=cosB，又$\frac{DB}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}$，$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sinC}$，得sinC•sin∠BAD=sinB•sin∠CAD⇒2B=2CB=C，即AB=AC．先在△ABE中利用余弦定理表示出cos∠BAC，進而求得sin∠BAC的表達式，進而代入三角形面積公式利用轉化為二次函數來解決．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{{S}_{△CAB}}$=4$\frac{{S}_{△ABD}}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}$，∴$\frac{CA•CBcosC}{\frac{1}{2}CA•CBsinC}=4×\frac{\frac{1}{2}AB•ADsin∠BAD}{AB•ADcos∠BAD}$．
⇒cotC=tan∠BAD⇒C+∠BAD=$\frac{π}{2}$⇒sin∠BAD=cosC
又因為∠BAD+C+∠CAD+B=π，∴$∠CAD+B=\frac{π}{2}$⇒sin∠CAD=cosB
在△ABD中，$\frac{DB}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}$，…①
在△ADC中，$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sinC}$，…②
∵DB=DC，結合①②得sinC•sin∠BAD=sinB•sin∠CAD
∴sinB•cosB=sinC•cosC⇒sin2B=sin2C⇒2B=2C或2B+2C=π．
∵△ABC是非直角△，∴B=C，即AB=AC．
∵2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，BE=2，則E為AC中點．
設AB=2x，則AE=x，在△ABE中，cos∠BAC=$\frac{{4x}^{2}+{x}^{2}-4}{2•2x•x}=\frac{5}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}$
sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{16}-\frac{1}{{x}^{4}}+\frac{5}{2{x}^{2}}}$
$\frac{1}{2}×（2x）^{2}×\sqrt{-\frac{9}{16}-\frac{1}{{x}^{4}}+\frac{5}{2{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{256}{9}}$$≤\frac{8}{3}$
故當x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$時，△ABC的面積的最大值為$\frac{8}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$．

點評 本題主要考查了向量數量積的運算、余弦定理和正弦定理的運用．解題過程中充分利用好等腰三角形這個條件，把表達式的未知量減到最少．屬于難題．