Question

18．下表是某位理科學生連續5次月考的物理、數學的成績，結果如下：

次數	1	2	3	4	5
物理（x分）	90	85	74	68	63
數學（y分）	130	125	110	95	90

（Ⅰ）求該生5次月考物理成績的平均分和方差；
（Ⅱ）一般來說，學生的數學成績與物理成績有較強的線性相關關系，根據上表提供的數據，求兩個變量x，y的線性回歸方程．（小數點后保留一位有效數字）
參考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，$\overline{x}$，$\overline{y}$表示樣本均值
參考數據：90²+85²+74²+68²+63²=29394，
90×130×85×125×74×110×68×95+63×90=42595．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定義計算月考物理成績的平均分和方差；
（Ⅱ）計算$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可寫出線性回歸方程．

解答 解：（Ⅰ）計算月考物理成績的平均分為
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（90+85+74+68+63）=76，
方差為s²=$\frac{1}{5}$×[${{（x}_{1}-\overline{x}）}^{2}$+${{（x}_{2}-\overline{x}）}^{2}$+…+${{（x}_{5}-\overline{x}）}^{2}$]
=$\frac{1}{5}$×[（90-76）²+（85-76）²+…+（63-76）²]
=102.8；
（Ⅱ）計算$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（130+125+110+95+68+90）=110，
回歸系數為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42595-5×76×110}{29394-5{×76}^{2}}$≈1.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=110-1.5×76=-4，
所以變量x，y的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.5x-4．

點評 本題考查了求平均數和方差以及線性回歸方程的應用問題，是基礎題．