Question

6．已知數列{a_n}滿足${a_1}=-\frac{1}{2}$，a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，且${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），則數列{a_n}的前2n項和S_2n取最大值時，n=8．

Answer 1

分析 由${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），則b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n為奇數}\\{3，n為偶數}\end{array}\right.$，由a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，當n=2k-1（k∈N^*）為奇數時，-2a_2k=3a_2k-1-2，當n=2k（k∈N^*）為偶數時，3a_2k+1=-2a_2k+3，可得a_2k+1-a_2k-1=$\frac{1}{3}$．因此數列{a_2k-1}成等差數列，公差為$\frac{1}{3}$，首項為-$\frac{1}{2}$．同理可得：a_2k+2-a_2k=-$\frac{1}{2}$．因此數列{a_2k}成等差數列，公差為-$\frac{1}{2}$，首項為$\frac{7}{4}$．利用等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：由${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），則b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n為奇數}\\{3，n為偶數}\end{array}\right.$，
由a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，當n=2k-1（k∈N^*）為奇數時，-2a_2k=3a_2k-1-2，
當n=2k（k∈N^*）為偶數時，3a_2k+1=-2a_2k+3，
∴3a_2k+1=3a_2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=$\frac{1}{3}$．因此數列{a_2k-1}成等差數列，公差為$\frac{1}{3}$，首項為-$\frac{1}{2}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}$a_2k-1=$-\frac{1}{2}×n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{{n}^{2}}{6}$-$\frac{2n}{3}$．
同理可得：a_2k+2-a_2k=-$\frac{1}{2}$．因此數列{a_2k}成等差數列，公差為-$\frac{1}{2}$，首項為$\frac{7}{4}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}{a}_{2k}$=$\frac{7}{4}$×n-$\frac{1}{2}$×$\frac{n（n-1）}{2}$=$-\frac{{n}^{2}}{4}$+2n．
∴S_2n=$\frac{{n}^{2}}{6}$-$\frac{2n}{3}$$-\frac{{n}^{2}}{4}$+2n=-$\frac{{n}^{2}}{12}$+$\frac{4}{3}$n=-$\frac{1}{12}$（n-8）²+$\frac{16}{3}$．
∴當n=8時，數列{a_n}的前2n項和S_2n取最大值$\frac{16}{3}$時．
故答案為：8．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、分類討論方法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．