Question

13．2017年春晚過后，為了研究演員上春晚次數與受關注度的關系，某網站對其中一位經常上春晚的演員上春晚次數與受關注度進行了統計，得到如下數據：

上春晚次數x（單位：次）	2	4	6	8	10
粉絲數量y（單位：萬人）	10	20	40	80	100

（1）若該演員的粉絲數量g（x）≤g（1）=0與上春晚次數x滿足線性回歸方程，試求回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并就此分析，該演員上春晚12次時的粉絲數量；
（2）若用$\frac{{y}_{i}}{{x}_{i}}$（i=1，2，3，4，5）表示統計數據時粉絲的“即時均值”（四舍五入，精確到整數），從這5個“即時均值”中任選2數，記所選的2數之和為隨機變量η，求η的分布列與數學期望．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸方程，計算x=12時$\stackrel{∧}{y}$的方程即可；
（2）經計算可知這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10，
得出η的可能取值，計算對應的概率值，寫出η的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）由題意可知，
計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（10+20+40+80+100）=50；
回歸系數為
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（2-6）•（10-50）+…+（10-6）•（100-50）}{{（2-6）}^{2}+…{+（10-6）}^{2}}$=12，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=50-12×6=-22，
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=12x-22；
當x=12時，$\stackrel{∧}{y}$=12×12-22=122，
所以該演員上春晚12次時的粉絲數約為122萬人；
（2）經計算可知，這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10，
∴η的可能取值有10、12、15、17、20；
計算P（η=10）=$\frac{1}{10}$，P（η=12）=$\frac{1}{5}$，
P（η=15）=$\frac{2}{5}$，P（η=17）=$\frac{1}{5}$，
P（η=20）=$\frac{1}{10}$；
∴η的分布列為：

η	10	12	15	17	20
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴數學期望為E（η）=10×$\frac{1}{10}$+12×$\frac{1}{5}$+15×$\frac{2}{5}$+17×$\frac{1}{5}$+20×$\frac{1}{10}$=$\frac{74}{5}$．

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望問題，是中檔題．