Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）離心率為$\frac{1}{2}$，過點$E（-\sqrt{7}，0）$的橢圓的兩條切線相互垂直．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若存在過點（t，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，使得FA⊥FB（F為右焦點），求t的范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，求得a=2c，b²=a²-c²=2c²，由函數的對稱性可知：ME的直線方程為y=x+1，代入橢圓方程，由△=0，即可求得c值，即可求得a和b，求得橢圓方程；
（2）設l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得t的范圍．

解答 解：（1）由題意的橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，b²=a²-c²=2c²，
由橢圓的對稱性，不妨設在x軸上方的切點為M，x軸下方的切點為N，則k_ME=1，ME的直線方程為y=x+1，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{7}}\\{\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1}\end{array}}\right.$，整理得：7x²+8$\sqrt{7}$x+28-12c²=0
△=（8$\sqrt{7}$）²-4×7×（28-12c²）=0，解得：c=1，
∴∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設l的方程為x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
${y_1}+{y_2}=\frac{-6mt}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{3{t^2}-12}}{{3{m^2}+4}}$$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}）$，
$\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1）（x₁-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+（mt-m）（{y_1}+{y_2}）+{t^2}-2t+1=0$，
∴7t²-8t-8=9m²有解，
∴7t²-8t-8≥0，則$t≥\frac{{4+6\sqrt{2}}}{7}$或$t≤\frac{{4-6\sqrt{2}}}{7}$．
∴t的范圍（-∞，$\frac{4-6\sqrt{2}}{7}$]∪[$\frac{4+6\sqrt{2}}{7}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．