Question

3．定義域為{x|x∈N^*，1≤x≤12}的函數f（x）滿足|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比數列，若f（1）=1，f（12）=4，則滿足條件的不同函數的個數為176．

Answer 1

分析 根據題意，由|f（x+1）-f（x）|=1分析可得必有在f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，必須且只能有1個成立，由等比數列的性質求得f（4）=±2，進而分2種情況討論，①、若f（4）=-2，分析可得在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，在4≤x≤11中，有1個f（x+1）-f（x）=-1，7個f（x+1）-f（x）=1成立，②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1個f（x+1）-f（x）=-1成立，2個f（x+1）-f（x）=1成立，在4≤x≤11中，有3個f（x+1）-f（x）=-1，5個f（x+1）-f（x）=1成立；由乘法原理計算可得每種情況的函數數目，由分類計數原理計算可得答案．

解答 解：根據題意，若|f（x+1）-f（x）|=1，則f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，
必須且只能有1個成立，
若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比數列，
則f（4）=±2，
分2種情況討論：
①、若f（4）=-2，
在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，
在4≤x≤11中，有1個f（x+1）-f（x）=-1，7個f（x+1）-f（x）=1成立，
則有C₈¹=8種情況，即有8個不同函數；
②、若f（4）=2，
在1≤x≤3中，有1個f（x+1）-f（x）=-1成立，2個f（x+1）-f（x）=1成立，有C₃¹=3種情況，
在4≤x≤11中，有3個f（x+1）-f（x）=-1，5個f（x+1）-f（x）=1成立，有C₈³=56種情況，
則有3×56=168種情況，即有168個不同函數；
則一共有8+168=176個滿足條件的不同函數；
故答案為：176．

點評 本題考查排列、組合的綜合應用，涉及函數的定義以及函數值的計算，關鍵是將函數值的問題轉化為排列、組合問題．