Question

17．已知函數$g（x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|x|$，則使得g（x-1）＞g（3x+1）成立的x的取值范圍是（-1，0）．

Answer 1

分析 根據題意，由函數g（x）的解析式分析可得g（x）為偶函數，且在[0，+∞）上為增函數；由此可以將g（x-1）＞g（3x+1）轉化為|x-1|＞|3x+1|，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，對于函數$g（x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|x|$，
$g（-x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|-x|$=g（x），則g（x）為偶函數．
分析易知g（x）在[0，+∞）上為增函數．
則g（x-1）＞g（3x+1）?g（|x-1|）＞g（|3x+1|）?|x-1|＞|3x+1|，
解可得-1＜x＜0；
即x的取值范圍為（-1，0）；
故答案為：（-1，0）．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是分析函數的奇偶性與單調性．