Question

2．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過點F的動直線交M于A，B兩點，若x軸上的點P（t，0）使得∠APO=∠BPO總成立（O為坐標原點），則t=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\sqrt{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 由橢圓的性質，求得橢圓方程，分類討論，當直線AB的斜率存在，設AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式k_PA+k_PB=0，即可求得t的值．

解答 解：由題意可知c=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
當直線AB斜率不存在時，t可以為任意非零實數，
當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由∠APO=∠BPO，則直線PA與PB的斜率之和為0，
則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，
∴2×$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（t+1）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2t=0，
解得：t=2，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查直線的斜率公式與韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．