Question

12．已知ω為正整數，若函數f（x）=sinωx+cosωx在區間（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）內單調遞增，則函數f（x）最小正周期為（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數f（x）化解，根據x在區間（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）內單調遞增．建立不等式關系，ω為正整數，即可求出函數f（x）最小正周期．

解答 解：函數f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx$+\frac{π}{4}$）
x在區間（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）內單調遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{πω}{3}+\frac{π}{4}≥-\frac{π}{2}+2kπ}\\{\frac{πω}{4}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，k∈Z，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{9}{4}-6k}\\{ω≤8k+1}\end{array}\right.$，
∵ω為正整數，
∴ω=1．
那么f（x）═$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）
函數f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數的性質的運用．屬于基礎題．