Question

1．函數$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點之和為（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． 2π
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 函數$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點?函數g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2與h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交點橫坐標．
可得函數g（x），h（x）的圖象關于點（$\frac{π}{3}，0$）對稱，畫出函數g（x），h（x）的圖象，結合圖象可求解．

解答 解：函數$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零點?函數g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2與h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交點的橫坐標．
g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{3}{2}cos2x$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），h（x）=$\frac{3}{3x-π}$=$\frac{1}{x-\frac{π}{3}}$，
可得函數g（x），h（x）的圖象，關于點（$\frac{π}{3}，0$）對稱．
函數g（x），h（x）的圖象如下：（只需畫出直線x=$\frac{π}{3}$右側部分）
結合圖象可得在區間[-$\frac{11π}{12}$，$\frac{19π}{12}$]，函數g（x），h（x）的圖象由4個交點，關于點（$\frac{π}{3}，0$）對稱．
所有零點之和為2×$\frac{π}{3}$+2×$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
故選：B

點評 本題考查了函數的圖象與性質，考查了數形結合思想、轉化思想，屬于中檔題．