Question

16．已知各項不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=pa_na_n+1（n∈N^*），p∈R．
（1）若a₁，a₂，a₃成等比數列，求實數p的值；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差數列，
①求數列{a_n}的通項公式；
②在a_n與a_n+1間插入n個正數，共同組成公比為q_n的等比數列，若不等式（q_n）^{（n+1）（n+a）}≤e對任意的n∈N^*恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等比數列的性質即可得出p．
（2）①利用遞推關系、等差數列的性質即可得出a_n．
②a_n=n，在n與n+1間插入n個正數，組成公比為q_n的等比數列，故有$n+1=nq_n^{n+1}$，即${q_n}={（\frac{n+1}{n}）^{\frac{1}{n+1}}}$，即${（\frac{n+1}{n}）^{n+a}}≤e$，兩邊取對數得$（n+a）ln（\frac{n+1}{n}）≤1$，分離參數得$a≤\frac{1}{{ln（\frac{n+1}{n}）}}-n$恒成立．令$\frac{n+1}{n}=x$，x∈（1，2]，則$a≤\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}$，x∈（1，2]，令$f（x）=\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}$，x∈（1，2]，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=pa₁a₂，${a_2}=\frac{1}{p}$，當n=2時，a₁+a₂=pa₂a₃，${a_3}=\frac{{{a_1}+{a_2}}}{{p{a_2}}}=1+\frac{1}{p}$，
由$a_2^2={a_1}{a_3}$得$\frac{1}{p^2}=1+\frac{1}{p}$，即p²+p-1=0，解得：$p=\frac{{-1±\sqrt{5}}}{2}$．      …（3分）
（2）①由2a₂=a₁+a₃得$p=\frac{1}{2}$，故a₂=2，a₃=3，所以${S_n}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$，
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}{a_n}$，
因為a_n≠0，所以a_n+1-a_n-1=2…（6分）
故數列{a_n}的所有奇數項組成以1為首項2為公差的等差數列，
其通項公式${a_n}=1+（\frac{n+1}{2}-1）×2=n$，…（7分）
同理，數列{a_n}的所有偶數項組成以2為首項2為公差的等差數列，
其通項公式是${a_n}=2+（\frac{n}{2}-1）×2=n$…（8分）
所以數列{a_n}的通項公式是a_n=n…（9分）
②a_n=n，在n與n+1間插入n個正數，組成公比為q_n的等比數列，故有$n+1=nq_n^{n+1}$，
即${q_n}={（\frac{n+1}{n}）^{\frac{1}{n+1}}}$，…（10分）
所以${（{q_n}）^{（n+1）（n+a）}}≤e$，即${（\frac{n+1}{n}）^{n+a}}≤e$，兩邊取對數得$（n+a）ln（\frac{n+1}{n}）≤1$，
分離參數得$a≤\frac{1}{{ln（\frac{n+1}{n}）}}-n$恒成立                               …（11分）
令$\frac{n+1}{n}=x$，x∈（1，2]，則$a≤\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}$，x∈（1，2]，…（12分）
令$f（x）=\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}$，x∈（1，2]，則$f'（x）=\frac{{{{（lnx）}^2}-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}}}{{{{（lnx）}^2}{{（x-1）}^2}}}$，
下證$lnx≤\frac{x-1}{{\sqrt{x}}}$，x∈（1，2]，
令$g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx，x∈（1，+∞）$，則$g'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}＞0$，所以g（x）＞0，
即$2lnx＜x-\frac{1}{x}$，用$\sqrt{x}$替代x可得$lnx＜\frac{x-1}{{\sqrt{x}}}$，x∈（1，2]，…（14分）
所以$f'（x）=\frac{{{{（lnx）}^2}-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}}}{{{{（lnx）}^2}{{（x-1）}^2}}}＜0$，所以f（x）在（1，2]上遞減，
所以$a≤f（2）=\frac{1}{ln2}-1$…（16分）

點評 本題考查了等比數列的定義及其通項公式、遞推式的應用、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．