Question

12．已知正整數(shù)λ，μ為常數(shù)，且λ≠1，無窮數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，其前n項和為S_n，且S_n=λa_n-μ．n∈N^*．記數(shù)列{a_n}中任意不同兩項的和構(gòu)成的集合為A．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求λ的值；
（2）若2015∈A，求μ的值；
（3）已知m≥1，求集合{x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}的元素個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）S_n=λa_n-μ．當(dāng)n≥2時，S_n-1=λa_n-1-μ，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，各項均為正整數(shù)，則公比$\frac{λ}{λ-1}$=1+$\frac{1}{λ-1}$為正整數(shù)，即可得出正整數(shù)λ．
（2）由（1）可得：S_n=2a_n-μ，可得a_n=μ•2^n-1，因此A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，利用2^i-1為偶數(shù)時，上式不成立，因此必有2^i-1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）當(dāng)n≥1時，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素個數(shù)，等價于滿足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，即可得出．（n∈N^*）．

解答 （1）證明：∵S_n=λa_n-μ．當(dāng)n≥2時，S_n-1=λa_n-1-μ，
∴a_n=λa_n-λa_n-1，λ≠1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∵各項均為正整數(shù)，則公比$\frac{λ}{λ-1}$=1+$\frac{1}{λ-1}$為正整數(shù)，λ為正整數(shù)，
∴λ=2．
（2）解：由（1）可得：S_n=2a_n-μ，當(dāng)n=1時，a₁=μ，則a_n=μ•2^n-1，
∴A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，
∵2015∈A，∴2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，
∵j-i＞0，則1+2^j-i必為不小于3的奇數(shù)，
∵2^i-1為偶數(shù)時，上式不成立，因此必有2^i-1=1，∴i=1，
∴μ（1+2^j-1）=5×13×31，
只有j=3，μ=403或j=7，μ=31時，上式才成立，
∴μ=31或403．
（3）解：當(dāng)n≥1時，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，
即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素個數(shù)，
等價于滿足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），
若j＞n+2，則2ⁱ+2^j≥2ⁱ+2ⁿ⁺³=2ⁱ+4×2ⁿ⁺¹＞3×2ⁿ⁺¹，矛盾．
若j＜n+2，則2ⁱ+2^j≤2ⁱ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3×2ⁿ，矛盾．
∴j=n+2，又∵（2¹+2ⁿ⁺²）-3×2ⁿ=2+4×2ⁿ-3×2ⁿ=2+2ⁿ＞0，
∴3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，
即i=1，2，…，n時，共有n個不同的解（i，j），即共有n個不同的x∈B_n，
∴b_n=n（n∈N^*）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、遞推式的應(yīng)用、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．