Question

20．已知函數f（x）=a^x-e（x+1）lna-$\frac{1}{a}$（a＞0，且a≠1），e為自然對數的底數．
（1）當a=e時，求函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值
（2）若函數f（x）只有一個零點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a=e代入函數解析式，求出導函數的零點，可得原函數在[0，1]上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，結合f（2）-f（0）＞0，可得函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值；
（2）求出原函數的導函數，分0＜a＜1和a＞1求得原函數的最小值，由最小值等于0求得a值．

解答 解：（1）當a=e時，f（x）=e^x-e（x+1）lne-$\frac{1}{e}$=e^x-e（x+1）-$\frac{1}{e}$，
∴f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，解得x=1，
當x∈[0，1]時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∵f（0）=1-e-$\frac{1}{e}$，f（2）=e²-3e-$\frac{1}{e}$，
∴f（2）-f（0）=e²-3e-$\frac{1}{e}$-1+e+$\frac{1}{e}$=e²-2e-1＞0，
∴函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值為e²-3e-$\frac{1}{e}$；
（2）f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e），
當0＜a＜1時，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＞0，即x$＜\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＜0，即x$＞\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上為減函數，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上為增函數，
∴當x=$\frac{1}{lna}$時函數取得最小值為f（$\frac{1}{lna}$）=${a}^{\frac{1}{lna}}-e（\frac{1}{lna}+1）lna-\frac{1}{a}$=${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}$．
要使函數f（x）只有一個零點，則${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}=0$，得a=$\frac{1}{e}$；
當a＞1時，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＜0，即x$＜\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＞0，即x$＞\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上為減函數，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上為增函數，
∴當x=$\frac{1}{lna}$時函數取得最小值為f（$\frac{1}{lna}$）=${a}^{\frac{1}{lna}}-e（\frac{1}{lna}+1）lna-\frac{1}{a}$=${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}$．
要使函數f（x）只有一個零點，則${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}=0$，得a=$\frac{1}{e}$（舍）．
綜上，若函數f（x）只有一個零點，則a=$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數零點的判定，體現了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是壓軸題．