Question

10．已知橢圓C₁與雙曲線C₂有相同的左右焦點F₁、F₂，P為橢圓C₁與雙曲線C₂在第一象限內(nèi)的一個公共點，設(shè)橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率為e₁，e₂，且$\frac{{e}_{1}}{{e}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則雙曲線C₂的漸近線方程為（　　）

• A． x±y=0
• B． x±$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=0
• C． x±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 設(shè)橢圓及雙曲線的方程，根據(jù)橢圓及雙曲線的離心率公式及定義，求得a₁=3a₂，丨PF₁丨=a₁+a₂=4a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂=2a₂，利用余弦定理即可求得c²=3a₂²，b₂=$\sqrt{2}$a₂，根據(jù)雙曲線的漸近線方程，即可求得答案．

解答 解：設(shè)橢圓C₁的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$（a₁＞b₁＞0），雙曲線C₂的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0），
焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₁=$\frac{c}{{a}_{2}}$，由$\frac{{e}_{1}}{{e}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，則a₁=3a₂，
由題意的定義：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
則丨PF₁丨=a₁+a₂=4a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂=2a₂，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=丨PF₁丨²+丨PF₁丨²-2丨PF₁丨丨PF₁丨cos∠F₁PF₂，
則（2c）²=（4a₂）²+（2a₂）²-2×4a₂×2a₂×$\frac{1}{2}$，
c²=3a₂²，b₂²=c²-a₂²=2a₂²，則b₂=$\sqrt{2}$a₂，
雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$x=±$\sqrt{2}$x，即x±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=0，
故選：C．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查余弦定理的應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．