Question

20．已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過點A（0，-a）（a＞0）作直線l與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標為（0，a），連接BP，BQ．且QB，QP與x軸分別交于M，N兩點，如果QB的斜率與PB的斜率之積為-3，則∠PBQ=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 設PQ：y=kx-a，與拋物線方程x²=2py聯立，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理，表示直線的斜率，通過k_BP=-k_BQ，k_BP•k_BQ=-3．求解即可．

解答 解：設PQ：y=kx-a，與拋物線方程x²=2py聯立得：x²-2pkx+2pa=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有：x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2pa，
${k_{BP}}+{k_{BQ}}=\frac{{{y_1}-a}}{x_1}+\frac{{{y_2}-a}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-2a（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=0$，
所以：k_BP=-k_BQ而：k_BP•k_BQ=-3．從而${k_{BP}}=\sqrt{3}，{k_{BQ}}=-\sqrt{3}$，
從而得$∠NBM=\frac{π}{3}，∠PBQ=\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．