Question

18．如圖是我國2010年至2016年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；
（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2018年我國生活垃圾無害化處理量．
附注：參考數據：$\sum_{i=1}^7{y_i}$=9.32，$\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}}$=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
參考公式：r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\bar t）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}-n\overline t•\overline y}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar t）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖中數據和附注中參考數據，計算相關系數，根據相關系數的值得出結論；
（Ⅱ）計算回歸系數，寫出y關于t的回歸方程；將2018年對應的t值代入回歸方程，計算對應的函數值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖中數據和附注中參考數據得$\overline t=4$，
$\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}=28$，
$\sqrt{\sum_{i=1}^7{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}=0.55$，
$\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}=\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}-\overline t\sum_{i=1}^7{y_i}}=40.17-4×9.32=2.89$，
所以相關系數為$r≈\frac{2.89}{0.55×2×2.646}≈0.99$；…（4分）
因為y與t的相關系數近似為0.99，
說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系；…（6分）
（Ⅱ）由$\overline y=\frac{9.32}{7}≈1.331$及（Ⅰ）得，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}=\frac{2.89}{28}≈0.103$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline t≈1.331-0.103×4≈0.92$；
所以，y關于t的回歸方程為：$\hat y=0.92+0.10t$；…（10分）
將2018年對應的t=9代入回歸方程得：
$\hat y=0.92+0.10×9=1.82$；
所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸…（12分）

點評 本題考查了相關系數與回歸直線方程的求法和應用問題，是中檔題．