Question

2．已知實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$z=x+y，則滿足z≥1的點（x，y）所構成的區域面積等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，畫出目標函數z=x+y取最小值1的直線，然后求三角形面積得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

作出直線x+y=0，平移直線x+y=0至過A（1，0）時，滿足目標函數z=x+y有最小值為1，
則滿足z≥1的點（x，y）所構成的區域為圖中陰影區域．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴|AC|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
點B到x+y=1的距離為$\frac{|1×2+1×2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．