Question

14．已知函數f（x）=2x+sinx，不等式f（m²）+f（2m-3）＜0（其中m∈R）的解集是（　　）

• A． （-3，1）
• B． （-1，3）
• C． （-∞，-3）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，由函數f（x）的解析式分析可得f（x）為奇函數，對其求導可得f′（x）=2+cosx＞0，則函數f（x）在R上為增函數，由此可以將f（m²）+f（2m-3）＜0轉化為m²+2m-3＜0，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）=2x+sinx，
則f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），f（x）為奇函數，
又由f′（x）=2+cosx＞0，則函數f（x）在R上為增函數，
f（m²）+f（2m-3）＜0⇒f（m²）＜-f（2m-3）⇒f（m²）＜f（3-2m）⇒m²＜3-2m⇒m²+2m-3＜0，
解可得：-3＜m＜1，
即其解集為（-3，1）；
故選：A．

點評 本題考查函數的單調性和奇偶性，涉及一元二次不等式的解法，注意充分利用函數的奇偶性與單調性．