Question

3．為備戰2018年瑞典乒乓球世界錦標賽，乒乓球隊舉行公開選撥賽，甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單．現甲、乙、丙三人進行隊內單打對抗比賽，每兩人比賽一場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為$\frac{3}{5}$，丙勝甲的概率為$\frac{3}{4}$，乙勝丙的概率為p，且各場比賽結果互不影響．若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為$\frac{1}{10}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設在該次對抗比賽中，丙得分為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，甲獲第一名且乙獲第三名的概率為$\frac{1}{10}$．即甲勝乙、甲勝丙且丙勝乙概率為$\frac{1}{10}$，利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）依題意丙得分X可以為0，3，6，丙勝甲的概率為$\frac{3}{4}$，丙勝乙的概率為$\frac{2}{3}$，利用相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式即可得出概率、分布列與數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知，甲獲第一名且乙獲第三名的概率為$\frac{1}{10}$．
即甲勝乙、甲勝丙且丙勝乙概率為$\frac{1}{10}$，…（2分）
∴$\frac{3}{5}×\frac{1}{4}×（1-p）=\frac{1}{10}$，∴$p=\frac{1}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）依題意丙得分X可以為0，3，6，丙勝甲的概率為$\frac{3}{4}$，丙勝乙的概率為$\frac{2}{3}$…（7分）
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$，$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}=\frac{5}{12}$，$P（X=6）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{6}{12}$…（10分）

X	0	3	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{6}{12}$

∴$E（X）=0×\frac{1}{12}+3×\frac{5}{12}+6×\frac{6}{12}=\frac{17}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．