Question

5．已知動點C到點F（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1，動點C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個不同點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，證明：直線l經(jīng)過一個定點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求得m=-5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經(jīng)過定點（5，0）．

解答 解：（1）由題意可得動點C到點F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴曲線E是以點（1，0）為焦點，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)其方程為y²=2px（p＞0），∴$\frac{p}{2}=1$，∴p=2，
∴動點C的軌跡E的方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4-2km}{k^2}$，${x_1}•{x_2}=\frac{m^2}{k^2}$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{{m^2}+4km}}{k^2}=5$，
∴m²+4km-5k²=0，∴m=k或m=-5k，又km＜0，m=k舍去，m=-5k，滿足△=16（1-km）＞0，
則直線l的方程為y=k（x-5），
∴直線l必經(jīng)過定點（5，0）．

點評 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．