Question

16．過拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點F的直線l與C相交于A，B兩點，與C的準線交于點D，若|AB|=|BD|，則直線l的斜率k=（　　）

• A． $±\frac{1}{3}$
• B． ±3
• C． $±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，設A，B兩點的拋物線的準線上的射影分別為A′，B′，過B作AA′的垂線BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直線AB的傾斜角，其正切值即為k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$，從而得出直線AB的斜率．

解答 解：如圖，設A，B兩點的拋物線的準線上的射影分別為A′，B′，
過B作AA′的垂線BH，
在三角形ABH中，∠BAH等于直線AB的傾斜角，其正切值即為丨k值，
由拋物線的定義可知：
設|BF|=n，B為AD中點，
根據拋物線的定義可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，
可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
|AA′|=2n，|BF|=n，
∴|AH|=n，
在直角三角形ABH中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=2$\sqrt{2}$，
則直線l的斜率k=2$\sqrt{2}$；
同理求得：直線l的斜率k=-2$\sqrt{2}$；
故選：D．

點評 本題主要考察了直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質，特別是焦點弦問題，解題時要善于運用拋物線的定義解決問題，屬于中檔題．