Question

3．已知以O為中心的雙曲線C的一個焦點為F，P為C上一點，M為PF的中點，若△OMF為等腰直角三角形，則C的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 根據題意，作出雙曲線的圖形，設雙曲線的另一個焦點為G，且PG=2c，分析可得△GPF也是等腰直角三角形，進而分析可得|PG|=|GF|=2c，|PF|=2$\sqrt{2}$c，由雙曲線的定義可得2a=||PF|-|PG||=（2$\sqrt{2}$-2）c，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，如圖：設雙曲線的另一個焦點為G，設PG=2c，
O為FG的中點，M為PF的中點，則OM為三角形PFG的中位線，
故△OMF∽△GPF，
故△GPF也是等腰直角三角形，
分析有|PG|=|GF|=2c，
則|PF|=2$\sqrt{2}$c，
則2a=||PF|-|PG||=（2$\sqrt{2}$-2）c，
該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$+1；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是依據題意找到a，c之間的等量關系．