Question

16．設函數f（x）=|x-$\frac{4}{m}$|+|x+m|，（m＞0）
（I）證明：f（x）≥4
（II）若f（1）＞5，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據絕對值的性質以及基本不等式的性質求出f（x）的最小值，證明即可；（Ⅱ）通過討論m的范圍，得到關于m的不等式，取并集即可．

解答 （I）證明：$f（x）=|{x-\frac{4}{m}}|+|{x+m}|≥|{（x-\frac{4}{m}）-（x+m）}|=|{\frac{4}{m}+m}|$，
因為m＞0，所以$f（x）=\frac{4}{m}+m≥2\sqrt{\frac{4}{m}×m}=4$，
當且僅當m=2時，等號成立…（5分）
（II）解：由m＞0及f（1）＞5得，$|{1-\frac{4}{m}}|+1+m＞5$（*），
①當0＜m≤4時，不等式（*）可化為：
$\frac{4}{m}+m＞5，即{m^2}-5m+4＞0$，
解得，m＞4，或m＜1所以，0＜m＜1，
②當m＞4時，不等式（*）可化為：
$2-\frac{4}{m}+m＞5，即{m^2}-3m-4＞0$，
解得，m＞4，或m＜-1所以，m＞4，
綜上，m的取值范圍是（0，1）∪（4，+∞）…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．