Question

16．已知等差數列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，等比數列{b_n}的首項b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足c_n=b_n+（-1）ⁿa_n，記數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．根據a₁=2，b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
可得2+d=q²，3×2+$\frac{3×2}{2}d$=6q，聯立解得d，q．即可得出．．
（2）c_n=b_n+（-1）ⁿa_n=2^n-1+（-1）ⁿ•2n．可得數列{c_n}的前n項和為T_n=1+2+2²+…+2^n-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=2ⁿ-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]．對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．
∵a₁=2，b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
∴2+d=q²，3×2+$\frac{3×2}{2}d$=6q，
聯立解得d=q=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，b_n=2^n-1．
（2）c_n=b_n+（-1）ⁿa_n=2^n-1+（-1）ⁿ•2n．
∴數列{c_n}的前n項和為T_n=1+2+2²+…+2^n-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=2ⁿ-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]．
∴n為偶數時，T_n=2ⁿ-1+[（-2+4）+（-6+8）+…+（-2n+2+2n）]．
=2ⁿ-1+n．
n為奇數時，T_n=2ⁿ-1+$2×\frac{n-1}{2}$-2n．
=2ⁿ-2-n．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1-n，n為偶數}\\{{2}^{n}-2-n，n為奇數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．