Question

14．已知極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸正半軸且單位長度相同的極坐標系中曲線C₁：ρ=1，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）求曲線C₁上的點到曲線C₂距離的最小值；
（Ⅱ）若把C₁上各點的橫坐標都擴大為原來的2倍，縱坐標擴大為原來的$\sqrt{3}$倍，得到曲線${C_1}^′$．設P（-1，1），曲線C₂與${C_1}^′$交于A，B兩點，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²=1，C₂：y=x+2，再求出圓心到直線距離，由此能求出曲線C₁上的點到曲線C₂距離的最小值．
（Ⅱ）伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，從而曲線${C_1}^′$：$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數）代入曲線${C_1}^′$，得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$．由此能求出|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：ρ=1，∴曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²=1，
∴圓心為（0，0），半徑為r=1，
${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數）消去參數t的C₂：y=x+2，（2分）
∴圓心到直線距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，（3分）
∴曲線C₁上的點到曲線C₂距離的最小值為$\sqrt{2}-1$．（5分）
（Ⅱ）∵把C₁上各點的橫坐標都擴大為原來的2倍，縱坐標擴大為原來的$\sqrt{3}$倍，得到曲線${C_1}^′$．
∴伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，∴曲線${C_1}^′$：$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1，（7分）
${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數）代入曲線${C_1}^′$，整理得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$．
∵t₁t₂＜0，（8分）
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．（10分）

點評 本題考查曲線上的點到直線的距離的最小值的求法，考查兩線段和的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．