Question

19．已知變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≤a}\end{array}\right.$，且z=x+2y的最小值為3，則$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程斜截式，得到當直線得z=x+2y截距最小時z最小，求出可行域內使直線截距最小的點的坐標，代入x=a求出a的值，利用$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的幾何意義，轉化求解概率即可．

解答 解：由變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≤a}\end{array}\right.$畫出可行域如圖，

由z=x+2y的最小值為3，在y軸上的截距最小．
由圖可知，直線得z=x+2y過A點時滿足題意．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（3，0）．A在直線x=a上，可得a=3．
則$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的幾何意義是可行域內的點與Q（-1，0）連線的斜率超過$\frac{1}{2}$，
由圖形可知：直線x=3與直線x-2y+1=0的交點為：（3，2），
直線x-2y+3=0與x=3的交點（3，3），
∴則$\frac{y}{x+1}$＜$\frac{1}{2}$的概率：$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
則$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的概率是：1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$．
故選：D．

點評 本題考查了簡單的線性規劃，訓練了數形結合的解題思想方法，是難題．