Question

12．如圖，平面ABCD⊥平面BCF，四邊形ABCD是菱形，∠BCF=90°．
（1）求證：BF=DF；
（2）若∠BCD=60°，且直線DF與平面BCF所成角為45°，求二面角B-AF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設AC∩BD=O，連接OF，由線面垂直的判定和性質BD⊥平面BCF，得到BD⊥OF，再由BO=DO，即可得到BF=DF；
（2）法一、過點D作DG⊥BC于點G，連接GF，設BC=2，求得$DG=\sqrt{3}$，過點G在BCF內作CF的平行線GH，則GH⊥平面ABCD，以點G為原點，分別以GH，GC，GD所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由題意請求出所用點的坐標，進一步求得平面ABF與平面AFC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B-AF-C的余弦值；
法二、過點O作OE⊥AF于點E，連接BE，由平面ABCD⊥平面ACF，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACF，得到BD⊥AF，有BE⊥AF，即∠BEO是二面角B-AF-C的平面角，
過點D作DG⊥BC于點G，連接GF，由DG⊥平面BCF，知直線DF與平面BCF所成角為∠DFG=45°，不妨設BC=2，然后求解三角形得二面角B-AF-C的余弦值．

解答 （1）證明：連接AC，設AC∩BD=O，連接OF，
∵平面ABCD⊥平面BCF，且交線為BC，
又∵∠BCF=90°，∴CF⊥平面ABCD，
∵CF?平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，則BD⊥平面BCF，
∴BD⊥OF，
又BO=DO，∴BF=DF；
（2）解：法一、過點D作DG⊥BC于點G，連接GF，
∵平面ABCD⊥平面BCF，即直線DF與平面BCF所成角為∠DFG=45°，不妨設BC=2，則$DG=\sqrt{3}$，
過點G在BCF內作CF的平行線GH，則GH⊥平面ABCD，
以點G為原點，分別以GH，GC，GD所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵∠DFG=45°，∴$GF=\sqrt{3}，CF=\sqrt{2}$，
則$A（0，-2，\sqrt{3}），B（0，-1，0），C（0，1，0），F（\sqrt{2}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{AF}=（\sqrt{2}，3，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BF}=（\sqrt{2}，2，0），\overrightarrow{CF}=（\sqrt{2}，0，0）$，
設平面ABF的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{FA}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+3y-\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{2}x+2y=0\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow m=（\sqrt{2}，-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
同理可得平面AFC的法向量為$\overrightarrow n=（0，1，\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{-2}{{\sqrt{2+1+\frac{1}{3}}×2}}=-\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
由圖可知二面角B-AF-C是銳角，
∴其余弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$；
法二、過點O作OE⊥AF于點E，連接BE，
∵平面ABCD⊥平面ACF，又AC⊥BD，∴BD⊥平面ACF，
∴BD⊥AF，即AF⊥平面BOE，
∴BE⊥AF，即∠BEO是二面角B-AF-C的平面角，
過點D作DG⊥BC于點G，連接GF，
∴DG⊥平面BCF，即直線DF與平面BCF所成角為∠DFG=45°，
不妨設BC=2，則$DG=GF=\sqrt{3}，CF=\sqrt{2}，AF=\sqrt{14}$，
∵△AEO∽△AFC，∴$OE=\sqrt{\frac{3}{7}}$，
又OB=1，∴$BE=\sqrt{\frac{10}{7}}$，
∴$cos∠BEO=\frac{OE}{BE}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
∴二面角B-AF-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．