Question

3．已知數列{a_n}為等差數列，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）與a₄的等比中項．
（1）求a_n；
（2）若數列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）與a₄的等比中項．可得（3+2d-1）²=（3+3d）（3+d-1），整理為：d²-d-2=0，解得d并且驗證即可得出．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）與a₄的等比中項．
∴（3+2d-1）²=（3+3d）（3+d-1），整理為：d²-d-2=0，解得d=2，或-1（舍去）．
∴a_n=2n+1．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n
b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，
當n為偶數時，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-…+$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-1+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{-n}{n+1}$．
當n為奇數時，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-…-$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{-n-2}{n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{n+1}，n為偶數}\\{-\frac{n+2}{n+1}，n為奇數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分類討論方法、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．