Question

18．已知a＞2，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}（{x+1}）+x-2，x＞0\\ x+4-{（\frac{1}{a}）^{x+1}}\begin{array}{l}{\;}{x≤0}\end{array}\end{array}$若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，則（　　）

• A． ?a＞2，x₁-x₂=0
• B． ?a＞2，x₁-x₂=1
• C． ?a＞2，|x₁-x₂|=2
• D． ?a＞2，|x₁-x₂|=3

Answer 1

分析 通過當x＞0時，不妨設其根為x₁；當x≤0時，不妨設其根為x₂，推出x₁-x₂=3；轉化求出結果即可．

解答 解：當x＞0時，y=log_a（x+1）+x-2，令y=0，則有log_a（x+1）=3-（x+1）不妨設其根為x₁；
當x≤0時，$y=x+4-{（\frac{1}{a}）^{x+1}}$，令y=0，則有${（\frac{1}{a}）^{x+1}}=3+（x+1）$，即：a^-（x+1）=3-[-（x+1）]，
不妨設其根為x₂，則有：（x₁+1）+[-（x₂+1）]=3，即：x₁-x₂=3；
同理，若x＞0時的零點為x₂，x≤0時的零點為x₁，則有：x₂-x₁=3，因而答案為D．
故選：D．

點評 本題考查函數的零點的應用，考查函數與方程的思想，是中檔題．