Question

7．已知各項均為正數的等差數列{a_n}滿足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數列，設{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列$\left\{{\frac{S_n}{{n•{2^n}}}}\right\}$的前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數列以及等比數列的關系，求出數列的首項與公差，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡通項公式，利用錯位相減法求和求解即可．

解答 （Ⅰ）解：根據題意，等差數列{a_n}中，設公差為d，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數列，a₁＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=2（{a_1}+d）\\{a_1}•（{a_1}+3d）=16\end{array}\right.$解得a₁=2，d=2，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a₁=d=2，則${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+n$，
∴${b_n}=\frac{S_n}{{n•{2^n}}}=\frac{n+1}{2^n}$．
∴${T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}$，（*）$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，（**）
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}=2+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n+1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}＜3$．
∴T_n＜3．

點評 本題考查等差數列的應用，數列求和的方法，考查計算能力．