Question

12．已知函數f（x）=$\frac{{ln（{2x}）}}{x}$，關于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有兩個整數解，則實數a的取值范圍為（-ln2，-$\frac{ln6}{3}$]．

Answer 1

分析 判斷函數f（x）的單調性和取值情況，利用一元二次不等式的解法，結合數形結合進行求解即可．

解答 解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），則f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$．
當f′（x）＞0得1-ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，即0＜2x＜e，即0＜x＜$\frac{e}{2}$，
由f′（x）＜0得1-ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，即2x＞e，即x＞$\frac{e}{2}$，
即當x=$\frac{e}{2}$時，函數f（x）取得極大值，同時也是最大值f（$\frac{e}{2}$）=$\frac{2}{e}$，
即當0＜x＜$\frac{e}{2}$時，f（x）＜$\frac{2}{e}$有一個整數解1，
當x＞$\frac{e}{2}$時，0＜f（x）＜$\frac{2}{e}$有無數個整數解，
①若a=0，則f²（x）+af（x）＞0得f²（x）＞0，此時有無數個整數解，不滿足條件．
②若a＞0，則由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜-a，當f（x）＞0時，
不等式由無數個整數解，不滿足條件．
③當a＜0時，由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a或f（x）＜0，當f（x）＜0時，沒有整數解，
∵f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴當f（x）≥ln2時，函數有兩個整數點1，2，當f（x）≥$\frac{ln6}{3}$時，函數有3個整數點1，2，3
∴要使f（x）＞-a有兩個整數解，必有$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，即-ln2＜a≤-$\frac{1}{3}$ln6，
故答案為（-ln2，-$\frac{ln6}{3}$]

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件判斷函數的取值范圍，利用數形結合結合一元二次不等式的解法是解決本題的關鍵．綜合性較強，屬于難題．