Question

2．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就．書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（單位：cm），則該陽馬的外接球的表面積為（　　）

• A． 100π cm²
• B． $\frac{500π}{3}$ cm²
• C． 400π cm²
• D． $\frac{4000π}{3}$ cm²

Answer 1

分析 如圖所示的四棱錐P-ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD為正方形．補成以AB，AD，AP為相鄰的三條棱的長方體，可得該陽馬的外接球的直徑為長方體的對角線．

解答 解：如圖所示的四棱錐P-ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD為正方形．
補成以AB，AD，AP為相鄰的三條棱的長方體，可得該陽馬的外接球的直徑為長方體的對角線．
則該陽馬的外接球的直徑=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=10．
∴該陽馬的外接球的表面積=$4π×（\frac{10}{2}）^{2}$=100πcm²．
故選：A．

點評 本題考查了正方體長方體與四棱錐的三視圖、體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．