Question

11．已知點P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，點Q在橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1上，O為坐標原點，記ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，集合{（P，Q）|ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$}，當ω取得最大值時，集合中符合條件的元素有幾個（　　）

• A． 2個
• B． 4個
• C． 8個
• D． 無數個

Answer 1

分析 由題意設P和Q的坐標，根據向量數量積的坐標運算及兩角和的余弦定理，根據余弦函數的性質，即可判斷集合中符合條件的元素個數．

解答 解：P（6cosα，2sinα），α∈[0，2π），Q（cosβ，3sinβ），α∈[0，2π），
$\overrightarrow{OP}$=（6cosα，2sinα），$\overrightarrow{OQ}$=（cosβ，3sinβ），
由ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），-2π＜α-β＜2π，
∴α-β=2kπ，
∴k=0，則α=β，
∴當P和Q共線時，ω取得最大值，
故這樣的點有無數個，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的參數方程，向量數量積的坐標運算，兩角和的余弦公式，余弦函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．