Question

9．已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線${C_2}：\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{2}+{sin^2}θ$．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若M（1，0），且曲線C₁與曲線C₂交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t，即可求得C₁的普通方程，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)即可求得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將曲線C₁代入曲線C₂的方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）將y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，代入x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，整理得x-y-1=0，則曲線C₁的普通方x-y-1=0；
曲線${C_2}：\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{2}+{sin^2}θ$，則1=$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{2}$+ρ²sin²θ．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，則曲線C₂的直角坐標(biāo)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²-4x=0，解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$，
則A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴丨MA丨=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，丨MB丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-0）^{2}+（\frac{1}{3}+1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程，橢圓的極坐標(biāo)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．