Question

4．在平面直角坐標系xoy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系，已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα\\ y=cos2α\end{array}\right.$，（$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，α為參數），曲線C₂的極坐標方程為$θ=-\frac{π}{6}$，求曲線C₁與曲線C₂的交點的直角坐標．

Answer 1

分析 求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程，兩方程聯立，能求出曲線C₁與曲線C₂的交點的直角坐標．

解答 解：∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα\\ y=cos2α\end{array}\right.$，（$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，α為參數），
∴曲線C₁的普通方程為y=1-2x²，x∈[0，1]，
∵曲線C₂的極坐標方程為$θ=-\frac{π}{6}$，∴曲線C₂的直角坐標方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
兩方程聯立：$\left\{\begin{array}{l}{y=1-2{x}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得2$\sqrt{3}{x}^{2}$-x-$\sqrt{3}$=0，
解得${x}_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，${x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[0，1]，∴$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，
∴曲線C₁與曲線C₂的交點的直角坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查兩條曲線交點的直角坐標的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．