Question

19．已知橢圓$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ$為參數），A，B是C上的動點，且滿足OA⊥OB（O為坐標原點），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，點D的極坐標為$（4，\frac{π}{3}）$．
（1）求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程；
（2）利用橢圓C的極坐標方程證明$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$為定值，并求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得線段AD中點坐標M，即可求得M的軌跡E的參數方程，消去α，即可求得E的普通方程；
（2）由橢圓的普通方程，求得極坐標方程，求得${ρ^2}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}θ}}$，由OA⊥OB，根據$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$，化簡即可求得$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$=$\frac{5}{4}$為定值，根據三角形的面積公式，利用二倍角公式，及三角函數的性質，即可求得△AOB面積的最大值．

解答 解：（1）點D的直角坐標為$（2，2\sqrt{3}）$，由題意可設點A的坐標為（2cosα，sinα）參數，
則線段AD的中點M的坐標為$（1+cosα，\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα）$，
所以點M的軌跡E的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα\end{array}\right.（α$為參數）
消去α可得E的普通方程為${（x-1）^2}+4{（y-\sqrt{3}）^2}=1$．
（2）橢圓C的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，化為極坐標方程得ρ²+3ρ²sin²θ=4，
變形得${ρ^2}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}θ}}$，
由OA⊥OB，不妨設$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$，所以$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$
=$\frac{{1+3{{sin}^2}θ}}{4}+\frac{{1+3{{sin}^2}（θ+\frac{π}{2}）}}{4}=\frac{{2+3{{sin}^2}θ+3{{cos}^2}θ}}{4}=\frac{5}{4}$（定值），
S_△AOB=$\frac{1}{2}$ρ₁ρ₂=$\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3co{s}^{2}θ）}}$=$\frac{2}{{\sqrt{1+3+9{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}}=\frac{2}{{\sqrt{4+\frac{9}{4}{{sin}^2}2θ}}}$，
易知當sin2θ=0時，S取得最大值1．

點評 本題考查軌跡方程的求法，參數方程與普通方程的轉化，橢圓的極坐標方程，考查兩點之間距離公式、極坐標的應用，考查計算能力，屬于中檔題．