Question

7．已知a為實數，且函數f（x）=（x²-4）（x-a），f'（-1）=0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0，解得$a=\frac{1}{2}$，
即$f（x）=（{{x^2}-4}）（{x-\frac{1}{2}}）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，x∈$R．通過判定導數的符號確定單調區間．
（2）求出極值、端點值，比較大小，即可求出最值．

解答 解：（1）函數f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），∴f'（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f'（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{1}{2}$．則$f（x）=（{{x^2}-4}）（{x-\frac{1}{2}}）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，x∈$R．
f'（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1），令f'（x）=0，解得$x=-1，\frac{4}{3}$．
由f'（x）＞0得$x＞\frac{4}{3}$或x＜-1，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0得$-1＜x＜\frac{4}{3}$，此時函數單調遞減，
即函數的單調遞增區間為$（{-∞，-1}]，[{\frac{4}{3}，+∞}）$，單調遞減區間為$[{-1，\frac{4}{3}}]$．
（2）當-2≤x≤2時，函數f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	[-2，-1）	-1	$（{-1，\frac{4}{3}}）$	$\frac{4}{3}$	$（{\frac{4}{3}，2}]$
f'（x）	+	0	-	0
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：當x=-1時，函數f（x）取得極大值，$f（{-1}）=\frac{9}{2}$，
當$x=\frac{4}{3}$時，函數f（x）取得極小值，$f（{\frac{4}{3}}）=\frac{50}{27}$，
又f（-2）=0，f（2）=0，可知函數f（x）的最大值為$\frac{9}{2}$，最小值為$-\frac{50}{27}$．

點評 本題考查了利用導數求函數單調區間、函數最值，屬于中檔題．