Question

18．已知三棱錐P---ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面△ABC滿足$BA=BC=\sqrt{6}$，$∠ABC=\frac{π}{2}$，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（　�。�

• A． 8π
• B． 16π
• C． $\frac{16}{3}π$
• D． $\frac{32}{3}π$

Answer 1

分析 求出棱錐的最大高度，利用勾股定理計算外接圓的半徑，從而得出球的體積．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC為截面圓的直徑，故外接球的球心O在截面ABC中的射影為AC的中點D，
∴當P，O，D共線且P，O位于截面同一側時棱錐的體積最大，
棱錐的最大高度為PD，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$×PD=3，解得PD=3，
設外接球的半徑為R，則OD=3-R，OC=R，
在△ODC中，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：（3-R）²+3=R²，解得R=2．
∴外接球的體積V=$\frac{4π}{3}$×2³=$\frac{32π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了棱錐與球的位置關系，幾何體的體積計算，屬于中檔題．