Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，Sn+3）（n∈N^*）在函數y=3×2^x的圖象上，等比數列{b_n}滿足b_n+b_n+1=a_n（n∈N^*）．其前n項和為T_n，則下列結論正確的是（　　）

• A． S_n=2T_n
• B． T_n=2b_n+1
• C． T_n＞a_n
• D． T_n＜b_n+1

Answer 1

分析 根據題意，將點（n，Sn+3）坐標代入函數y=3×2^x中，可得S_n+3=3×2ⁿ，即S_n=3×2ⁿ-3，據此構造S_n-1=3×2^n-1-3，分析可得數列{a_n}的通項公式，對于等比數列{b_n}，設其公比為q，由題意可得b₁+b₂=b₁（1+q）=3和b₂+b₃=b₂（1+q）=b₁q（1+q）=6，解可得b₁=1，q=2，即可得數列{b_n}的通項公式，由等比數列前n項和公式計算可得T_n的表達式，據此依次分析選項，即可得答案．

解答 解：根據題意，對于數列{a_n}，點（n，Sn+3）（n∈N^*）在函數y=3×2^x的圖象上，
則有S_n+3=3×2ⁿ，即S_n=3×2ⁿ-3，①；
由①可得：S_n-1=3×2^n-1-3，②
①-②可得：a_n=（3×2ⁿ-3）-（3×2^n-1-3）=3×2^n-1，（n≥2）③
n=1時，a₁=S₁=3×2-3=3，
驗證可得：n=1時，a₁=3符合③式；
則a_n=3×2^n-1，
對于等比數列{b_n}，設其公比為q，
等比數列{b_n}滿足b_n+b_n+1=a_n（n∈N^*），n=1時，有b₁+b₂=b₁（1+q）=3，④
n=2時，有b₂+b₃=b₂（1+q）=b₁q（1+q）=6，⑤
聯立④⑤，解可得b₁=1，q=2，
則b_n=2^n-1，
則有T_n=$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
據此分析選項：
對于A、S_n=3×2ⁿ-3=3（2ⁿ-1），T_n=2ⁿ-1，則有S_n=3T_n，故A錯誤；
對于B、T_n=2ⁿ-1，b_n=2^n-1，T_n=2b_n-1，故B錯誤；
對于C、n=1時，T₁=2-1=1，a₁=3×2⁰=3，T_n＞a_n不成立，故C錯誤；
對于D、T_n=2ⁿ-1，b_n+1=2ⁿ，則有T_n＜b_n+1，D正確；
故選：D．

點評 本題考查數列的遞推公式，關鍵是求出數列{a_n}、{b_n}的通項公式．