Question

5．在平面直角坐標系中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數，α∈[0，π]），直線l的極坐標方程為$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）}}$．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）P為曲線C上任意一點，Q為直線l任意一點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程消去參數α，能求出曲線C的普通方程；直線l的極坐標方程轉化為ρsinθ-ρcosθ=4，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]），求出P到直線l的距離，結合三角函數的性質能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數，α∈[0，π]），
∴曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=1．（y≥0）．
∵直線l的極坐標方程為$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）}}$，
即ρsinθ-ρcosθ=4，
∴直線l的直角坐標方程為x-y+4=0．
（2）∵P為曲線C上任意一點，Q為直線l任意一點，
∴設P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]，
則P到直線l的距離：
d=$\frac{|1+cosα-sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{2}sin（α+\frac{3π}{4}）+5|}{\sqrt{2}}$，
∵α∈[0，π]，∴當α=$\frac{3π}{4}$時，d_min=$\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．
∴|PQ|的最小值為$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

點評 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標方程的求法，考查線段長的最小值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．