Question

20．網購是當前民眾購物的新方式，某公司為改進營銷方式，隨機調查了100名市民，統計其周平均網購的次數，并整理得到如下的頻數分布直方圖．這100名市民中，年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網購次數不小于4次的市民稱為網購迷，且已知其中有5名市民的年齡超過40歲．
（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為網購迷與年齡不超過40歲有關？

	網購迷	非網購迷	合計
年齡不超過40歲
年齡超過40歲
合計

（2）若從網購迷中任意選取2名，求其中年齡丑啊過40歲的市民人數ξ的分布列與期望．
附：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.01
k0	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）由題意填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；
（2）由頻率分布直方圖，結合題意知ξ的所有取值，
計算對應的概率，寫出分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）由題意可得列聯表如下：

	網購迷	非網購迷	合計
年齡不超過40歲	20	45	65
年齡超過40歲	5	30	35
合計	25	75	100

假設網購迷與年齡不超過40歲沒有關系，
則$k=\frac{{100×{{（20×30-45×5）}^2}}}{65×35×25×75}≈$3.297＞2.706，
所以可以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為網購迷與年齡不超過40歲有關；
（2）由頻率分布直方圖可知，網購迷共有25名，
由題意得年齡超過40的市民人數ξ的所有取值為0，1，2，
$P（ξ=0）=\frac{{C_{20}^2}}{{C_{25}^2}}=\frac{19}{30}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_{20}^1C_5^1}}{{C_{25}^2}}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_5^2}{{C_{25}^2}}=\frac{1}{30}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{19}{30}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{30}$

數學期望值為$Eξ=0×\frac{19}{30}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{30}=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是中檔題．