Question

8．已知函數f（x）=x²+ax-lnx（a∈R，a為常數）
（1）當a=-1時，若方程f（x）=$\frac{x}$有實根，求b的最小值；
（2）設F（x）=f（x）•e^-x，若F（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函數解析式，求導得到導函數的零點，求得原函數的最值，把f（x）=$\frac{x}$轉化為b=xf（x），則b的最小值可求；
（2）求出F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$．設h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx$，可得h′（x）≥2-a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在區間（0，1]上是否為單調函數，從而求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²+x-lnx，
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$．
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）≥f（1）=0．
由f（x）=$\frac{x}$，得b=xf（x），
又x＞0，∴b≥0．
即b的最小值為0；
（2）F（x）=f（x）•e^-x，
F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$．
設h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx$．
則h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}+2-a$，可知h′（x）在（0，1]上為減函數．
從而h′（x）≥h′（1）=2-a．
①當2-a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區間（0，1]上為增函數，
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在區間（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0在區間（0，1]上恒成立．
∴F（x）在區間（0，1]上是減函數，故a≤2滿足題意；
②當2-a＜0，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x₀，則h（x）在（0，x₀）上單調遞增，在（x₀，1）上單調遞減．
又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
∴F（x）在（x₀，1）上單調遞增，
∵h（e^-a）＜0，∴F（x）在（0，e^-a）上遞減，這與F（x）在區間（0，1]上是單調函數矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜合①②得：a≤2．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想方法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，難度較大．